【黑白棋指南】第十三章 尾局数子

dragoniye

　　第6章和第8章中，我们看了一些能在尾局时发现好棋的策略。不过很多局面下，找出正确棋步的唯一方法就是做一个精确的计算。你必须能想出棋局剩余部分的棋步顺序，进而算出棋局的最后比分。尽管我研究的技术会尽量降低这个过程的难度，但这仍然需要“预算”的能力，即有能力看出几步后的局面，这对新手大概比较困难。本章的第一部分解释怎样在最后两步时数子，这部分相对简单，即使是新手也不难操作。本章的剩余部分包含一些本书中最难的内容，是为高水平棋手设计的。不管你当前水平如何，练习尾局计算都是提高你预算能力的极佳途径之一，能提升你在棋局各阶段的棋力。附录介绍了几个专门设计来练习尾局的软件。
　　图13-1展示了一个通过尾局数子判断最好棋步的典型局面。第一步是数出当前局面下你自己棋子的数目。如果你下的是有时限的棋局，速度就很重要，而且绝不能数错，因此找到一个精确数子的方法也很重要。我个人的方法数出每列的棋子，从右加到左。

        图13-1        黑先
　　例如，图13-1中，黑方h列有7子，加g列5子得12，加f列4子得16，等等。练习后，不用一颗颗的数，看一眼应该就能知道那一列有几子。当然，你也可以从左加到右，从a列开始加到h列。不过你很可能觉得逐列来加比逐行来加要容易一些。另一个方法是以五子为一单位进行数子（这样数：一五，二五，三五…），不过我发现要记住哪些子已经数过了比较难。

　　确定了图13-1中黑方有26子后，我们现在计算棋局结束时黑方有多少棋子。考虑黑方下a8后会发生什么（图13-2），然后白方b8（图13-3）。黑方有多少子？图13-2中，黑方有26+7=33子，黑方初始有26子，在左边（a列）增加5子（a4、a5、a6、a7和a8），对角线上加2子（b7和b6）。当一步棋翻转了两个方向或更多的方向上的棋子时，通常这种方式数子容易一点：一次一个方向。图13-3中，白方翻回1子（b7），给黑方留下33-1=32子。因此，如果黑方在图13-1中下a8，最后他会有32子。

        图13-1.2.3        黒先

　　这种方法：先算出图13-2中黑方有33子然后结束时有32子，我称之为两步法。不过你能省掉一步直接在图13-3中找比分。毕竟，当我们在图13-1中考虑a8这步棋时，我们知道最后白方下b8后黑方是不能保住b7这颗子的。因此，与其先给黑方加上这颗子然后又减去，还不如在初始局面时就不加它要更容易一些。
　　如果我来计算这个局面，我会先算出26子，然后在左边加5子得31，接着加上c6的棋子得32。如果你以前没有这么做过，看上去这是“走捷径”一步直接跳到了图13-3，这种方式似乎更难且容易出错。不过，如果你使用这两种方式有了岁月后，我向你保证裁掉多余的一步会让你算得既快且准。当我们考虑图13-1黑方先下b8后会发生什么时，两种方法之间的差异会更明显。

　　图13-1黑方先下b8，结果见图13-4。白方下a8结束对局（图13-5）。黑方有几子？图13-4中，黑方有26+14=40子。黑方先有26子，底边加5子（b8、c8、d8、e8和f8），斜线上加5子（c7、d6、e5、f4和g3），b列加4子（b4、b5、b6和b7，注意b8已加过了）。图13-5中，白方翻回7子（b7、b8、c8、d8、e8、f8和g8），留给黑方40-7=33子。因此，如果黑方在图13-1中下b8，棋局结束时它会有33子。因为a8留给黑方32子而b8留33子，b8是更好的一步棋。

                图13-1.4.5        黒先
　　现在换用一步法来计算图13-5中的棋子数。 先是图13-1中的26子，黑方在斜线方向加5子（c7、d6、e5、f4和g3）得31，加b列3子（b4、b5和b6）得34。最后，当白方下a8，黑方失去g8的棋子（注意完全没有加上底边的棋子，因此现在没必要减去它们），棋局最后黑方会有34-1=33子。个人认为，这种方法比先算26+14=40，然后算40-7=33的方法要容易得多。
　　我现在要提到另外一种数子法，我称之为加/减法。上面，我们以先下a8和b8比较了棋局最后的棋子数，判断出b8更好。另一种替代方法是计算得失的子数。比较图13-1和13-3，我们看到棋局最后，黑方下a8得6子（a4、a5、a6、a7、a8和c6）。比较图13-1和图13-5显示黑方下b8得7子（8颗新增子c7、d6、e5、f4、g3、b4、b5和b6，但失去了g8的棋子）。再一次的，因为下b8（+7）所得比a8（+6）更多，我们知道b8要更好。
　　使用加/减法的优势在于不需要在图13-1时数出黑子的数目。如果a8是+6并且b8是+7，那么b8更好，这就行了。如果给我5秒时间判断正确棋步我会用加/减法，在图13-1中数出26颗黑子可能都要花我10秒钟。不过，如果你确实很烦在初始局面中数出棋子数的话，加/减法实际上仍会让你最后时刻必须数子。在我们的例子中，b8是+7，那么最后数子也就是初次数子了。26，加7，那么这次要数33子。
　　
　　如果你不打算计算超过2格空的局面，那么加/减法大概要优于数子法。在你开始计算较长的棋步顺序时，数子法的主要优势会显现出来。通常的原因不是判断出最佳步，而是找到一个足够赢棋的棋步。如果你数子，并且发现一个棋步顺序让你有33子，那么你知道你能赢。如果你发现一个棋步顺序+10，足够赢棋吗？确定的唯一办法还是数出原始局面中的棋子数，这样又拿走了加/减法的主要优势。实际上，当我使用加/减法时，我通常有一个“目标”分数告诉我要多少才能赢。在我们的例子中，先有26子，目标是+7，这就是说，如果我找到了一步棋分数是+7或更好，那么我知道我能赢。不过，当你对很多可能的棋步顺序进行长考时，把目标分数记好有点困难。而当数子时，很明显33子会胜。
　　
　　加/减法的另一个缺点是：在你考虑丢子的局面时可能会被弄糊涂。假设你现在有45子不过棋局剩余部分会不断丢子。很明显33子结束优于32子，但是-12优于-13？心算“45减5得40，减5得35，加2得37，减4得33”比心算“负5减5得负10，加2得负8，减4得负12”要容易。
　　
　　因为你可以一步的或两步的来算，还可选择数子法或加/减法，所以有4种不同的数子方法。尽管我强烈建议你用一步法而不是两步法，但不管你是用数子法还是加/减法完全是个人习惯问题：每一种方法都可以练到很有效。返回到我开始下黑白棋的时候，那个史前恐龙时代，我所知的每个人都用两步、加/减法，并且直到今天有一些专家仍用这种方法计算。大概1990年我换用一步加/减法。2000年时我最终改用数子法。有过使用所有方法的经验，我建议在考虑长的棋步顺序时用数子法而不是加/减法。

dragoniye

习题1 ： http://hbqhome.com/thread-379-1-1.html
习题2 ： http://hbqhome.com/thread-380-1-1.html
习题3 ： http://hbqhome.com/thread-381-1-1.html
习题4 ： http://hbqhome.com/thread-382-1-1.html
习题5 ： http://hbqhome.com/thread-383-1-1.html
习题6 ： http://hbqhome.com/thread-384-1-1.html

dragoniye

　　本节描述计算局面多于2空格时的技术。本章第一部分提到过，只剩两格时都有几种计算方法，那么自然的，当考虑长的棋步顺序时可能有更多的变化。下面一些例子，先介绍一下我是怎样计算一个局面的。但是，我绝不会说这就是唯一正确的方法。通过练习和经验，你可以发现哪种方法最适合你。
　　在前面剪枝的那一节，我们看到了计算多于2格时不仅要算出一个棋步顺序，还需要考虑选择哪个棋步顺序来算。图13-18中，黑方有3个选择，每个选择后白方也有3个选择，再之后黑方有1个或2个选择。幸运的是，我们不必为计算所有可能的顺序而烦恼。计算这个局面的关键在于运用偶数理论（见第8章）来帮助找出正确的棋步顺序。

        图13-18.19.20        黒先
　　不管黑方在图13-18中下到哪儿，右上方区域都会剩2格，左上区域剩1格（a1）。偶数理论告诉我们白方可能会下a1，让黑方先下入最后的空格对。考虑更进一步，如果黑方先下h2，会形成一个黑方无法下入的偶数区域（逆转奇偶），因此即使白方继续下a1，白方还是必须先下入这个区域。因此，实际上是在黑h2白a1后开始计算的。结果局面见图13-19。现在的问题是，白方想下到哪里？g1还是h1？
　　处理这个局面至少有两种方法。一种是对图13-19数子，考虑这个局面下的两个棋步顺序（白g1黑h1和白h1黑g1）。使用这个方法的话，我们必须判断出图13-19中的黑子数目。为了这么做，我们首先要数出图13-18中的黑子数，即23。黑方下h2后右边（h列）得6子（h2、h3、h4、h5、h6和h7），加g3得30，在第二行得5子（c2、d2、e2、f2和g2）得35。白方下a1翻转了b2，给黑方在图13-19中留下34子。现在我们知道了这个数目，我们可以算出白方两种选择后得最后结果。首先，如果白g1黑h1，那么黑方丢掉了f2和g3得32，加h1得33。如果白h1黑g1，那么黑方丢掉f3得33，加g1得34。因此，图13-19中白方没有比g1更好的选择，并且黑方33:31胜。
　　另一种方法是在计算之前判断出对白方来说哪步棋更好。本例中，我们可从从白方的角度看，用加/减法。再次从图13-19开始，白g1黑h1后，白方得3子（g1、f2和g3）。如果换做白h1黑g1，白方得2子（h1和f3）。因此，图13-19中，我们假设白方会下g1。那么我们就准备从图13-18开始计算（这时我们要这个局面黑方23子）。整个棋步顺序是黑h2、白a1、黑弃权、白g1，黑h1。首先，我会重要到棋局结束黑方有了整条右边，得到7子（h1、h2、h3、h4、h5、h6和h7），30子。另外加g2得31，第2行上加3子（c2、d2、e2）得34，减b2得33。
　　通常我更喜欢前面的一种方法，因为容易一些，尽管后面一种方法可能稍快一点，因为我们直接根据最终局面计算的（前面一种里，我们把f2和g3加给黑方，之后又减去它们）。练习会告诉你哪种方法更适合你，但是我相信，使用后面那种方法，必须在脑海里想清楚最终局面，当空格数更多时这会变得非常困难。此外，有时图13-19这样的局面，你能立刻判断出是胜还是负。我们的例子中比分很接近，因此我们在图13-19中必须考虑白方的棋步。不过，如果黑方这时有38子，那么我们不用计算就知道黑方会胜。或如果黑方26子，我们知道黑方会负。
　　计算出黑h2白a1黑方会胜后，h2后怎样下就很简单了（图13-20），不管白方下到哪里黑方都能胜。本例中，右上区域（g1和h1）和左上区域（a1）是各自独立的。这就是说，不管白方先下a1还是先下右上区域，翻转的棋子都是相同的，不改变结果。因此，如果白方不下a1换做下g1，黑方最后还是33子。
　　如果我们要检验h2就是黑方在图13-18中的最佳步，那么我们必须考虑黑方其它的选择，也即g1和h1。上面提到过，偶数理论告诉我们，白方肯定会先应a1。黑h1、白a1、黑h2显然是最好的选择。黑g1、白a1后，最后两步（黑h2白h1）是强迫性的。因此，我们需要考虑两个棋步顺序，即h1a1h2g1和g1a1h2h1。这个留做练习，不过不难验证出没有哪一个能得33子。最后，只需在图13-18中下h2结束棋局后验证一下。
　　图13-21展示我在2001年世锦赛中一个对局中的局面。在这个局面中找出并验证最佳步并不容易。在WZebra中布下这个局面，它在选h1前搜索了3440种棋步顺序。实际对局时我没有下这步棋，但是我找到了一种能胜的棋步顺序，而且相当容易计算。首先，我数出白方有19子。看着这个局面，我想a3是一步好棋，吃下4颗内子（b4、c5、d6和e7）。黑方只有一个选择a2，白方留有23子。

        图13-21        白先                                                                图13-22        白先
　　现在，左上区域是黑方无法下入的偶数区域，对付这种区域的唯一办法就是送吃棋步（见第8章）。我决定考察b1，给了黑方两个选择，b2和c1。不过b2很糟糕，让白方可以连下h1、c1和a1。因此，黑方必须下c1。这两步给白方加了两子b1和b3，不过黑方最终会下a1翻转b1。因此我只加了b3，得24子（图13-22）。剩下的棋步见图13-23，很容易算出并且黑方没有其它选择。白方在左上加5子（b2、c2、d2、b3和c3）得29，加右上4子（f1、g1、h1和h2）得33。本例中，我真的只需计算一种棋步顺序来找到可胜的棋步顺序。

        图13-23        白先

　　

dragoniye

　　在上面的例子中，仅有两个空格，一旦黑方选择了一步棋，最终结果就确定了，因为白方只用填入最后的空格。当你开始考虑有更多空格的局面时，你的对手也可能有多个选择，那么很自然的，你不仅要考虑自己的棋步，也要考虑对手会怎样回应。即使仅剩3个空格，都可能使找出最佳步难上很多。例如，考虑图13-10。

　　白方可以选择3个空格中的任何一个，并且在他落子后，黑方也能在余下的2个空格中任选一个。这意味着有3×2=6种可能的棋步顺序要考虑。见图13-11，白方的每一种可能的棋步顺序及白方最后得子数都显示在图上（例如，第1个分枝是白a7，黑a8，白b8，白方最后有30子）。有了这些信息，哪些是双方的最佳步？
　　如果白方先下a7，那么黑方从a8和b8中选择。如果黑方下a8，那么白方最后有30子，意味着黑方有34子。如果黑方下b8，那么白方最后有29子，黑方有35子。黑方自然会选择自己子多白方子少的棋步。因此，如果白方先下a7，黑方应b8，那么白方最后有29子。类似的，如果白方先下a8，黑b8，白方得33子。如果白方先下b8，黑方的两个应手会有相同结果，白方得31子。因此白方下a8能得33子，但a7只有29子，b8只有31子。白方在图13-10中的最佳步是a8，黑方会应b8。
　　上例显示出在尾局中对手有多种选择时，数子会变得多么的复杂。好消息是在练习中，我们使用剪枝可以在相当程度上简化这个过程，在图13-10中找出最佳步不是那么的困难。假设你执白，没有图13-11的信息。第一步是数出当前局面白方的棋子数，24。第二步，你必须考虑三个选择中先计算哪一个。通常，你想先考虑的那步棋，是你还没计算的情况下一眼看上去最好的。假设你决定先下b8，图13-12展示结果局面，白方30子（当然，实际对局时你应能在脑海中看到此图）。

        图13-10.12.13        白先                                                                图13-10.14        黒先

　　如果我们依照图13-11的逻辑，我们现在必须为黑方考虑最佳步，只有这样才能知道白方最后有多少子。练习中，最好算黑方下a8白方a7后的最后比分，因为这显然比黑a7白a8要容易一些。黑a8白a7后，白方唯一的改变就是在a7多了一子。因为白方在图13-12中有30子，图13-13中白方是31子。现在，确认在图13-10中白方下b8得到了31子，我们继续考虑图13-12中黑方选a7的结果，也许a7对黑方更好，那么白方会少于31子。即使不用计算a7后的棋步，有一件事也已经很明显了：白方先下b8会输。唯一的问题是他会输多少，与其花时间把它算出来，还不如去尝试图13-10中的其它选择。现在假设你决定下a8，局面见13-14，这时白方有29子。
　　再一次的，我们必须决定先算黑方哪步棋。本例中，b8看上去是明显的选择，保住了底边的两颗子。白方a7，最终局面见图13-15。把这个和图13-14比较，白方得了4子（a7、b6、c5和c7），总共留下33子。因此，看起来图13-10中白方先下a8会胜。不过，我们必须确认图13-14中b8就是黑方的最佳步。如果黑方换做下a7，那么白方b8（图13-16）。比较图13-14和图13-16，白方得了5子（b5、b6、b8、c7和c8），最后34子。因此，如果白方先下a8，黑方没有比b8更好的选择，白方会33:31胜。

        图13-15        结果白33子                                                  图13-16        结果白34子

        图13-10.17
　现在你判断出白方下a8会胜，你也许会就此打住，下a8。不过，如果你要确定a8的确就是最佳步的话，那么你还必须考虑图13-10中白方最后的一个选择，也即a7（图13-17）。图13-17中白方仅有29子，显然白方得子不可能超过33（白方先下a8的结果），白方可以拒绝a7，接受a8。
　　上面的分析显示，为了找出最佳步，并不需要计算完所有分枝。例子中我们考虑了6种分枝中的4种，而在某些例子中，很可能只考虑一小部分分枝就找到了正确的棋步顺序。特别是当我们愿意接受任何能赢的棋步，而不是追求绝对的最佳步时，这一点尤其正确。不过，分枝确实把计算弄得更复杂，这也是为什么专家棋手通常不用剪枝法寻找获胜棋步顺序的原因。下一节会展示一些例子。
      

dragoniye

　　不管你使用哪种方法计算的，一个我称之为相消的技术能使计算更简单。考虑用加/减法计算图13-6所示的局面。考虑棋步顺序黑a8，白b8，通常我们会说黑方得了2子（a7和a8）+2，丢了2子（b5和b6）得0。用相消法，我们心算时将得到的子（a7和a8）和丢掉的子（b5和b6）配对，马上就得到了结果0（见图13-7）。为了算出黑b8，白a8棋步后的结果，我们可以把得到的4子（例如c7、d6、e5和f4）消去丢掉的4子（c6、d5、e4和f3），多留下一个g3的棋子。因此，这个棋步顺序对黑方是+1（见图13-8）。


　　相消法在当相消的棋子相邻或靠近时，即类似于图13-8的局面时最好用。如果棋子位于棋盘的两边，我发现不用相消法，直接计算更好。如果你必须把目光在棋盘的两部分上来回切换，排列起哪些棋子要被消去，会很容易犯错。

　　一种例外是可用于当边上有大量棋子可以相消时，例如图13-9。当考虑黑a8，白b8时，可以消去5颗边上棋子，得出结果+1。如同我在本章中所强调的，通过多练习，经验会告诉你这个技术对你来说是否会使数子变易。